Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler

TURGAY BAYRAKTAR (SABANCI Ü. MÜHENDİSLİK VE DOĞA BİLİMLERİ F.)
EMEL KARACA (ANKARA HACI BAYRAM VELİ Ü. POLATLI FEN EDEBİYAT F)
23 0

Proje Grubu: MFAG Sayfa Sayısı: 28 Proje No: 119F184 Proje Bitiş Tarihi: 01.01.2023 Metin Dili: Türkçe DOI: 119F184 İndeks Tarihi: 14-03-2024

Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler

Öz:
Bu projede yüksek dereceli rassal gerçel cebirsel hiperyüzeylerin geometrik ve topolojik özellikleri; örneğin bağlantılı bileşenlerinin sayısı, projektif hacimleri ve birbirlerine göre konumlarını istatistiksel bir bakış açısıyla çalışılmıştır. Burada RP^n üzerinde tanımlı rassal gerçel hiperyüzey ile n+1 değişkenli homojen rassal bir polinomun sıfır varyetesi kastedilmektedir. Tek değişkenli durumda (n=1 için) bu problem yüksek dereceli rassal polinomların gerçel köklerinin sayısı ve asimptotik dağılımını çalışmaya karşılık gelmektedir. Öte yandan iki boyutlu durumda ise rassal gerçel cebirsel düzlem eğrilerinin ovallerinin sayıları, düzlemdeki asimptotik dağılımları ve birbirlerine göre konumlarını incelemeye karşılık gelmektedir. Bu projede ele alınan problemler Hilbert?in onaltıncı probleminin daha genel ve istatistiksel bir hali olarak düşünülebilir. Bu projede matematiksel analiz ve çoklu potansiyel teorisinin araçlarını kullanarak yeni teknikler geliştirilmiş ve bu yeni teknikler cebirsel geometri ve topoloji problemlerine uygulamıştır. Rassal gerçel hiperyüzeylerin asimptotik geometrik ve topolojik özelliklerini incelemek için olasılık teorisinin yöntemlerine ek olarak çoklu potansiyel teorisi (çoklu altharmonik fonksiyonlar teorisi) ve ? ?-operatörü için L^2-hesapları gibi kompleks geometri teknikleri kullanılmıştır. Ek olarak, burada elde edilen sonuçlar disiplinler arası bir yapıya sahip olup cebirsel geometri, olasılık teorisi ve kompleks analiz konuları arasındaki etkileşimi artırması beklenmektedir.
Anahtar Kelime: Rassal gerçel cebirsel varyeteler Projektif hacim Bağlantılı bileşenler Kac-Rice formülleri

Random Real Algebraic Hypersurfaces

Öz:
The purpose of this project proposal is to study geometric and topological properties such as projective volume, number of connected components and their relative positions of random real algebraic hypersurfaces as the degree of the defining polynomial grows. By a random real algebraic hypersurface in RP^n we mean zero variety of a random homogeneous polynomial in n+1 variables. In the univariate case (for n=1) this problem reduces to studying asymptotic distribution of reel roots of random polynomials as their degree grow. On the other hand, in dimension two it amounts to studying asymptotic number of ovals and their distribution on the plane for random reel algebraic plane curves. The results obtained in this project can be considered as a probabilistic version of Hilbert?s sixteenth problem. This project aims to develop and apply new techniques from mathematical analysis and potential theory in several complex variables to problems in algebraic geometry and topology. In addition to probabilistic tools, we aim to use complex potential theory (theory of pluri-subharmonic functions) combined with complex geometry techniques (eg. L^2-estimates for the ? ?-operator) in order to study asymptotic geometric and topological properties random real algebraic hypersurfaces. Moreover, the proposed project has an interdisciplinary nature and it lies on the frontier between algebraic geometry, complex analysis and probability. Thus, we expect that the progress on the research in this project will contribute to the advancement of knowledge and understanding in these fields.
Anahtar Kelime: Rassal gerçel cebirsel varyeteler Projektif hacim Bağlantılı bileşenler Kac-Rice formülleri

Erişim Türü: Bibliyografik
  • [AW] J. M. Azaïs, M. Wschebor, Level Sets and Extrema of Random Processes and Fields, John Wiley & Sons. Inc. 2009, ISBN 978-0-470-40933-6.
  • [Ar] Arnold, V.I., 1971. On the distribution of ovals of real plane algebraic curves, involutions of four-dimensional manifolds and the arithmetic of integral quadratic forms. Funct. Anal. and Appl, 5, pp.169-176.
  • [Bay1] Bayraktar, T. 2016. “Equidistribution of zeros of random holomorphic sections”, Indiana Univ. Math. J., 65 (5), 1759-1793.
  • [Bay2] Bayraktar, T. 2017. “Zero distribution of random sparse polynomials”, Michigan Math. J., 66, no. 2, 389-419.
  • [Bay3] Bayraktar, T. 2017. “Asymptotic normality of linear statistics of zeros of random polynomials”, Proc. of Amer. Math. Soc., 145, no. 7, 2917-2929.
  • [Bay4] Bayraktar, T. 2018. “Expected number of real roots for random linear combinations of orthogonal polynomials associated with radial weights”, Potential Anal., 48, no. 4, 459-471.
  • [BCM] Bayraktar T., Coman D. and Marinescu G. 2020. “Universality results for zeros of random holomorphic sections”, Trans. Amer. J. Math, 373 (6) 3765-3791.
  • [BÇ] Bayraktar, T. ve Çelik, Ç. 2023. “Zero distribution of random Bernoulli polynomial mappings”, submitted to Electron. J. Probab.
  • [BKa] Bayraktar, T. ve Karaca E. 2022. “An exponential rarefaction result for Sub-Gaussian real algebraic maximal curves”, submitted to C. R. Math. Acad. Sci. Paris.
  • [BK] Bayraktar, T. ve Kişisel, A.U. Ö. 2022. “Expected depth of random real algebraic curves”, submitted to J. Inst. Math. Jussieu.
  • [Ber09] Berman, R. J. 2009. “Bergman kernels and equilibrium measures for line bundles over projective manifolds”. Amer. J. Math., 131(5):1485-1524.
  • [BSZ1] Bleher, P., Shiffman, B. and Zelditch, S., 2000. “Universality and scaling of correlations between zeros on complex manifolds”. Inventiones mathematicae, 142(2), pp.351-395.
  • [BP] A. Bloch and G. Polya. On the Roots of Certain Algebraic Equations. Proc. London Math. Soc. , S2-33(1):102, 1932.
  • [BBL] Bogomolny, E. and Bohigas, O. and Leboeuf, P. 1996. “Quantum chaotic dynamics and random polynomials”, J. Statist. Phys., 85(5-6), 639-679.
  • [Bü] Bürgisser, P., 2007. Average Euler characteristic of random real algebraic varieties. Comptes Rendus Mathematique, 345(9), pp.507-512.
  • [Das] M. Das. Real zeros of a random sum of orthogonal polynomials. Proc. Amer. Math. Soc. 27 (1971), 147–153.
  • [D] Demailly, J.P., 1982. Estimations pour l’opérateur d’un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d’une variété kählérienne complète. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér.(4), 15, pp.457-511.
  • [Dem] Demailly, 1993. “Monge-Ampére Operators, Lelong Numbers and Intersection Theory.” Complex Analysis and Geometry, 115–193. New York: Plenum, 1993.
  • [Dem1] Demailly, J.-P. 1990. Singular Hermitian metrics on positive line bundles, in Complex algebraic varieties (Bayreuth, 1990), Lecture Notes in Math. 1507, Springer, 1992, 87-104.
  • [DS1] T.-C. Dinh and N. Sibony. 2006. “Distribution des valeurs de transformations méromorphes et applications”, Comment. Math. Helv. 81, no. 1, 221–258.
  • [Dur] Durrett, R., 2010. “Probability: theory and examples”. Cambridge university press. [EK] Edelman, A. and Kostlan, E., 1995. How many zeros of a random polynomial are real?. Bulletin of the American Mathematical Society, 32(1), pp.1-37.
  • [ET] Erdös, P. and Turan, P.. 1950. “On the distribution of roots of polynomials”. Ann. of Math. 51(2),105-119.
  • [GW1] Gayet, D. and Welschinger, J.Y., 2014. Lower estimates for the expected Betti numbers of random real hypersurfaces. Journal of the London Mathematical Society, 90(1), pp.105-120.
  • [GW2] Gayet, D. and Welschinger, J.Y., 2015. Expected topology of random real algebraic submanifolds. Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 14(4), pp.673-702.
  • [GH] Griffiths, P. and Harris, J., 1994. “Principles of Algebraic Geometry”, Wiley Classics Library, John Wiley & Sons, Inc., New York, Reprint of the 1978 original.
  • [Ham] J. M. Hammersley. “The zeros of a random polynomial”. In Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1954-1955, vol. II, 89-111, Berkeley and Los Angeles, 1956. University of California Press.
  • [Ho] Hörmander, L. 2007. “Notions of convexity”, Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser. [K] M. Kac. On the average number of real roots of a random algebraic equation. Bull. Amer. Math. Soc., 49 (1943), 314-320.
  • [Ko] Kostlan, E., 2002. On the expected number of real roots of a system of random polynomial equations. In Foundations of computational mathematics (pp. 149-188).
  • [K] M. Klimek, Pluripotential theory, London Math. Soc. Monogr. Ser., 6, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1991, Oxford Science Publications.
  • [KL] Kratz, M.F. and León, J.R., 2001. Central limit theorems for level functionals of stationary Gaussian processes and fields. Journal of Theoretical Probability, 14(3), pp.639- 672.
  • [LL] Lerario, A. and Lundberg, E., 2014. Statistics on Hilbert's 16th problem. International Mathematics Research Notices, 2015(12), pp.4293-4321.
  • [LO] J. E. Littlewood and A. C. Offord. “On the number of real roots of a random algebraic equation”. III. Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. , 12(54) (1943), 277-286.
  • [MM] Ma, X. and Marinescu, G. 1997. “Holomorphic Morse inequalities and Bergman kernels”, Progress in Math. 254, Birkhäuser.
  • [M] N. B. Maslova, The distribution of the number of real roots of random polynomials, Teor. Verojatnost. i Primenen. 19 (1974), 488–500.
  • [M] Milnor, J., 1964. On the Betti numbers of real varieties. Proceedings of the American Mathematical Society, 15(2), pp.275-280.
  • [Mi] Mikhalkin, G., 2000. Real algebraic curves, the moment map and amoebas. Annals of Mathematics, 151(1), pp.309-326.
  • [NS] Nazarov F., and Sodin M., 2009. “On the number of nodal domains of random spherical harmonics”, Amer. J. Math. 131, pp1337-1357.
  • [NV] Nonnenmacher, S. and Voros, A.: 1998. “Chaotic eigenfunctions in phase space”, J. Statist. Phys., 92(3-4), 431-518.
  • [ST] E. B. Saaf and V. Totik, 1997. “Logarithmic potentials with external fields”, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 316, Springer-Verlag, Berlin, Appendix B by Thomas Bloom.
  • [SS] Shub, M. and Smale, S., 1993. Complexity of Bezout’s theorem II Volumes and probabilities. In Computational algebraic geometry (pp. 267-285). Birkhäuser, Boston, MA.
  • [TV] Tao, T. and Vu, V., 2014. Local universality of zeroes of random polynomials. International Mathematics Research Notices, 2015(13), pp.5053-5139.
  • [SZ1] Shiffman, B. and Zelditch, S. 1999 Distribution of zeros of random and quantum chaotic sections of positive line bundles, Comm. Math. Phys., 200 (3), 661-683.
  • [SZ3] Shiffman, B. and Zelditch, S. 2008. “Number variance of random zeros on complex manifolds”, Geom. Funct. Anal. 18, 1422-1475.
APA bayraktar t, KARACA E (2023). Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. , 0 - 28. 119F184
Chicago bayraktar turgay,KARACA Emel Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. (2023): 0 - 28. 119F184
MLA bayraktar turgay,KARACA Emel Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. , 2023, ss.0 - 28. 119F184
AMA bayraktar t,KARACA E Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. . 2023; 0 - 28. 119F184
Vancouver bayraktar t,KARACA E Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. . 2023; 0 - 28. 119F184
IEEE bayraktar t,KARACA E "Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler." , ss.0 - 28, 2023. 119F184
ISNAD bayraktar, turgay - KARACA, Emel. "Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler". (2023), 0-28. https://doi.org/119F184
APA bayraktar t, KARACA E (2023). Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. , 0 - 28. 119F184
Chicago bayraktar turgay,KARACA Emel Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. (2023): 0 - 28. 119F184
MLA bayraktar turgay,KARACA Emel Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. , 2023, ss.0 - 28. 119F184
AMA bayraktar t,KARACA E Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. . 2023; 0 - 28. 119F184
Vancouver bayraktar t,KARACA E Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler. . 2023; 0 - 28. 119F184
IEEE bayraktar t,KARACA E "Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler." , ss.0 - 28, 2023. 119F184
ISNAD bayraktar, turgay - KARACA, Emel. "Rassal Gerçel Cebirsel Hiperyüzeyler". (2023), 0-28. https://doi.org/119F184
Sayfa Oluşturulma Tarihi
24-04-2024 10:56

İLETİŞİM

TÜBİTAK ULAKBİM TR Dizin

Yüzüncüyıl, İşçi Blokları Mahallesi

Muhsin Yazıcıoğlu Caddesi No:51/C

06530 Çankaya / ANKARA +90 (312) 298 92 00

trdizin@tubitak.gov.tr

TÜBİTAK ULAKBİM Ulusal Akademik Ağ ve Bilgi Merkezi Cahit Arf Bilgi Merkezi © Tüm Hakları Saklıdır. Gizlilik Politikası Kullanım Şartları