A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES
Yıl: 2019 Cilt: 14 Sayı: 2 Sayfa Aralığı: 167 - 177 Metin Dili: İngilizce DOI: 10.29228/TurkishStudies.22692 İndeks Tarihi: 17-07-2020
A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES
Öz: In this study, generalized δ-supplementing and amplegeneralized δ-supplementing modules are defined as a newgeneralization of Rad-supplementing modules and modules with theproperty (δ-E) (briefly δ- supplementing) which were studied in(Özdemir, 2016) and (Sözen et. al., 2017) respectively and some basicproperties of them are investigated.While preparing this paper besides the article (Özdemir, 2016), thearticles (Çalışıcı et al., 2012 and Türkmen, 2013) related with moduleshaving a supplement and Rad-supplement in every cofinite extensionare used. Generalized δ-supplementing modules are of course ageneralization of injective modules such as Zöschinger’s modules withthe property ( ) E . It is shown that δ-supplementing and δ- radicalmodules are both generalized δ- supplementing. In general, generalizedδ-supplementing modules need not be δ-supplementing. We give anexample which supports this reality. It is proved that every directsummand of a generalized δ-supplementing module is generalizedδ- supplementing. Moreover, it is proved that generalized δ-supplemented modules are preserved under extensions below somespecial conditions. Following this, it is given that an immediateconsequence such that every module with composition series isgeneralized δ- supplementing. Moreover, it is pointed that the cases being generalized δ-supplementing and injectivity are coincide formodules over δ-V- rings. It is wondered whether the factor module ofa generalized δ- supplementing module is also generalized δ-supplementing and so it is found a positive answer under a specialcondition. It is also proved that for a module M , the necessary and sufficient condition of being ample generalized δ-supplementing is that every submodule ofM is generalized δ-supplementing. As a result, it is obtained that every ample generalized δ-supplementingmodule is a generalized δ- supplemented module.
Anahtar Kelime: RAD-TÜMLEYENLİ MODÜLLERİN YENİ BİR GENELLEŞTİRİLMESİ
Öz: Bu çalışmada sırasıyla (Özdemir, 2016) ve (Sözen et. al., 2017) kaynaklarında çalışılan Rad-tümleyenli ve (δ-E) özelliğine sahip (kısaca δ-tümleyenli) modüllerin yeni bir genelleştirmesi olarak genelleştirilmiş δ-tümleyenli ve bol genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüller tanımlandı ve bazı temel özellikleri incelendi. Ayrıca bu çalışmada bütün halkalar birimli ve bütün modüller de üniter sol modül olarak alınmıştır. Genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüller tıpkı Zöschinger’ in (E) özelliğine sahip modülleri gibi injektif modüllerin bir genelleştirilmesidir. δ-tümleyeni ve δ-radikal modüllerin genelleştirilmiş δ-tümleyenli modül olduğu gösterildi. Genel olarak, genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüller δ-tümleyenli değildir. Bu iddiayı doğrulayan bir örneğe yer verildi. Genelleştirilmiş δ-tümleyenli bir modülün her bir direkt toplam teriminin de genelleştirilmiş δ-tümleyenli olduğu ispatlandı. Kullanışlı bir sonuç olarak genelleştirilmiş δ-tümleyenli bir modülün δ-örtüsünün de genelleştirilmiş δ-tümleyenli olduğu ifade edildi. Dahası, genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüllerin genişlemeler altında korunduğu ispatlandı. Buna dayanarak, kompozisyon serisine sahip her modülün genelleştirilmiş δ-tümleyenli olduğu söylendi. Genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüllerin faktör modüllerinin de genelleştirilmiş δ-tümleyenli olup olmadığını sorgulandı ve özel bir şart altında bunun doğruluğu bulundu. Ayrıca, δ-V-halka üzerine kurulan modüllerin injektifliği ile genelleştirilmiş δ-tümleyenli kavramının çakıştığı görüldü. Bir M modülünün bol genelleştirilmiş δ-tümleyenli olması için gerekli ve yeterli koşulun M nin her alt modülünün genelleştirilmiş δ-tümleyenli olması gerektiği gösterildi. Bunun sonucu olarak da her bol genelleştirilmiş δ-tümleyenli modülün genelleştirilmiş δ-tümlenmiş modül olduğu söylendi.
Anahtar Kelime: Belge Türü: Makale Makale Türü: Araştırma Makalesi Erişim Türü: Erişime Açık
- Clark, J., Lomp, C., Vanaja, N. and Wisbauer, R. (2006). Lifting Modules. Frontiers in Mathematics, Basel: Birkhauser Verlag.
- Çalışıcı, H., & Türkmen, E. (2012). Modules that have a supplement in every cofinite extension. Georgian Mathematical Journal. 19(2), 209-212.
- Koşan, M. (2007). δ-lifting and δ-supplemented modules. Algebra Colloquium. 14(01), 53-60.
- Özdemir, S. (2016). Rad-supplementing modules. Journal of Korean Mathematical Society. 53(2), 403-414.
- Rotman, J. (2009). An Introduction to Homological Algebra. Universitext, New York, Springer.
- Sözen, E.Ö.&Eren, Ş. (2017). Modules that have a 𝛿-supplement in every extension. Europen Journal of Pure and Applied Mathematics. 10(4), 730-738.
- Talebi, Y.&Talaee, B. (2009). On generalized supplemented modules. Vietnam Journal of Mathematics. 37(4), 515-525.
- Türkmen, B.N. (2013). Modules that have a Rad-supplement in every cofinite extension. Miskolc Mathematical Notes, 14(3), 1059.
- Türkmen, B.N.&Türkmen, E. (2018). Modules which have a Rad-supplement that is a direct summand in every extension. Algebra and Discrete Mathematics. 25(1), 157-164.
- Tribak, R. (2012). Finitely generated -supplemented modules are amply -supplemented. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 86(03), 430-438.
- Tribak, R. (2015). When finitely generated 𝛿-supplemented modules are supplemented. Algebra Colloquium. Academy of Mathematics and System Science, Chinese Academy of Sciences and Suzhou University. 22(1), 119-130.
- Talebi, Y. & Talaee, B. (2009). Generalizations of D11 and D11 modules. Asian-European Journal of Mathematics. 2(2), 285-293.
- Ungor, B., Halıcıoğlu, S. and Harmancı, A. (2014). On a class of supplemented modules. Bulletin of the Malaysian Mathematicial Sciences Society (2). 37(3), 703-717.
- Wang, Y.&Ding, N. (2006). Generalized supplemented modules. Taiwanese Journal of Mathematics. 10(6), 1589-1601.
- Wang, Y. (2007). δ-small submodules and δ-supplemented modules. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 1-8.
- Wisbauer, R. (1991). Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Philadelphia.
- Xue, W. (1996). Characterizations of semiperfect and perfect rings. Publicacions Matematiques. 40(1), 115-125.
- Yüzbaşı, F. & Eren, Ş. (2013).Generalized cofinitely semiperfect modules. Annals of the Alexandru Ioan Cuza University – Mathematics. (N.S), 59(2), 269-280.
- Zhou, Y. (2000). Generalizations of perfect, semiperfect, and semiregular rings, Algebra Colloquium. 7(3), 305-318.
- Zöschinger, H., (1974). Moduln die in jeder Erweiterung ein Komplement haben. Mathematica Scandinavica. 35, 267-287.
| APA | ERYILMAZ F, ÖZTÜRK SÖZEN E (2019). A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. , 167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| Chicago | ERYILMAZ Figen,ÖZTÜRK SÖZEN ESRA A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. (2019): 167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| MLA | ERYILMAZ Figen,ÖZTÜRK SÖZEN ESRA A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. , 2019, ss.167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| AMA | ERYILMAZ F,ÖZTÜRK SÖZEN E A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. . 2019; 167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| Vancouver | ERYILMAZ F,ÖZTÜRK SÖZEN E A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. . 2019; 167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| IEEE | ERYILMAZ F,ÖZTÜRK SÖZEN E "A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES." , ss.167 - 177, 2019. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| ISNAD | ERYILMAZ, Figen - ÖZTÜRK SÖZEN, ESRA. "A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES". (2019), 167-177. https://doi.org/10.29228/TurkishStudies.22692 |
| APA | ERYILMAZ F, ÖZTÜRK SÖZEN E (2019). A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. Turkish Studies - Information Technologies and Applied Sciences, 14(2), 167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| Chicago | ERYILMAZ Figen,ÖZTÜRK SÖZEN ESRA A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. Turkish Studies - Information Technologies and Applied Sciences 14, no.2 (2019): 167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| MLA | ERYILMAZ Figen,ÖZTÜRK SÖZEN ESRA A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. Turkish Studies - Information Technologies and Applied Sciences, vol.14, no.2, 2019, ss.167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| AMA | ERYILMAZ F,ÖZTÜRK SÖZEN E A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. Turkish Studies - Information Technologies and Applied Sciences. 2019; 14(2): 167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| Vancouver | ERYILMAZ F,ÖZTÜRK SÖZEN E A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES. Turkish Studies - Information Technologies and Applied Sciences. 2019; 14(2): 167 - 177. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| IEEE | ERYILMAZ F,ÖZTÜRK SÖZEN E "A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES." Turkish Studies - Information Technologies and Applied Sciences, 14, ss.167 - 177, 2019. 10.29228/TurkishStudies.22692 |
| ISNAD | ERYILMAZ, Figen - ÖZTÜRK SÖZEN, ESRA. "A RECENT GENERALIZATION OF RAD-SUPPLEMENTING MODULES". Turkish Studies - Information Technologies and Applied Sciences 14/2 (2019), 167-177. https://doi.org/10.29228/TurkishStudies.22692 |
